ar X iv : m at h / 04 02 24 0 v 1 [ m at h . C V ] 1 4 Fe b 20 04 Sur la transformation d ’ Abel - Radon des courants localement résiduels

We give in this note a generalisation of the following theorem of Henkin and Passare (cf. [7] and [8]) : Let be Y an analytic subvariety of pure codimension p in a linearly p−concave domain U , and ω a meromorphic q−form (q > 0) on Y ; if the Abel-Radon transform R(ω ∧ [Y ]), which is meromorphic on U * , has a meromorphic prolongation tõ U * containing U * , then Y extends as an analytic subvariety˜Y of˜U , and ω as a meromorphic form oñ Y. We show the analogous statement when we replace ω ∧ [Y ] by a current α of a more general type, called locally residual, if α is of bidegree (N, 1), or (q + 1, 1), 0 < q < N in the particular case where R(α) = 0. On commence dans les deux premiers paragraphes par introduire les deux objets que nous utiliserons par la suite, dans un contexte assez général: premì erement, les courants localement résiduels, etdeuxì ement, la transformation d'Abel-Radon, dont la transformation d'Abel (cf.[5] et [4]) est un cas particulier. On montre pour la transformation d'Abel-Radon certaines propriétés de stabilité, en particulier que la transformation d'un courant localement résiduel est encore un courant localement résiduel. Leprobì eme principaí etudié dans cette note peut alors se formuler de lamanì ere suivante. On se donne un ouvert de l'espace projectif complexe IP n−forme méromorphe sur U * (n = N − p). Alors, si R(α) se prolonge sur un domaine˜U * contenant U * , peut-on prolonger α dans˜U comme courant localement résiduel ? Nous donnons la réponse positive pour p = 1. On commence parétudier, ´ etant donnée la projection standard φ : D × l C y → D, o` u D est un do-maine de IP n , la trace φ * (α) des courants localements résiduels α ` a support φ−propre. On montre que α peut se reconstruire, comme courant résiduel, ` a partir de ses traces u k := φ * (αy k), k ∈ IN; puis que si les u k se prolongent méromorphiquement sur un domaine plus grand˜D, α se prolonge sur˜D × l C comme courant résiduel. On applique ensuite ce théorème pour démontrer le théorème suivant: